중2 삼각형의 무게중심 개념 설명과 2가지의 증명 방법 소개

오늘은 중학교 2학년 수학에서 나오는 개념인 삼각형의 무게중심에 대해 설명해 보려고 합니다! 무게중심을 알기 위한 선수지식, '세 중선이 한 점에서 만난다'를 2가지 방법으로 증명, 무게중심 개념, 성질 정리를 해보려고 합니다.

 

썸네일

 

삼각형의 무게중심의 개념과 성질

삼각형의 무게중심이란 삼각형의 세 중선의 교점이고, 이 무게중심은 세 중선을 2 대 1로 나눈다는 성질을 가지고 있습니다.

 

세 중선이 한 점에서 만난다는 것과 2 대 1로 나눈다는 것은 아래에서 증명해 보도록 하겠습니다.

 

무게중심

 

무게중심을 알기 위해 필요한 선수 지식

1. 중점연결정리

중점연결정리를 소개해 보겠습니다. 

중점연결정리는 '모든 삼각형 ABC에 대해서 선분 AB와 선분 AC의 각각의 중점을 연결한 선분 DE는 밑변인 선분 BC와 평행하고, BC의 길이의 1/2이다 '라는 정리입니다.

 

즉, 우리가 아무 삼각형이나 보조선을 그어서 밑변과 평행하면서 길이가 절반인 보조선을 그을 수 있다는 정리이므로 강력한 정리라고 할 수 있습니다.

 

중점연결정리

 

성립하는 이유?

위의 정리가 성립하는 이유는 닮음을 활용하시면 쉽게 이해할 수 있습니다.

삼각형 ADE 와 삼각형 ABC가 SAS 닮음입니다.

 

그 이유는 각 A가 공통으로 있고,  선분 AD : 선분 AB = 1:2, 선분 AE : 선분 AC = 1:2 이기 때문입니다!

 

따라서 각 ADE = 각 ABC 이므로 동위각의 크기가 같으므로 선분 DE와 선분 BC는 평행합니다.

또한 삼각형 ADE와 삼각형 ABC의 닮음비가 1:2 이므로 선분 DE = 1/2 × 선분 BC입니다.

 

 

2. 중선

중선은 한 꼭짓점에서 마주 보는 대변의 중점과 그 꼭짓점을 이은 선분을 의미합니다.

즉, 꼭짓점에서 반대편 변의 중점을 이으면 됩니다.

 

그렇다면 삼각형에 중선은 몇 개 있을까요?

맞습니다. 3개가 있습니다!

 

아래 사진에서 보는 것과 같이 3개의 중선을 그릴 수 있는데 이 중선 3개가 마침 한 점에서 만납니다.

세 개의 직선이 한 점에서 만나는 것은 당연한 일이 아닌데 이 세 중선들은 한 점에서 만나게 되고, 그 점을 우리는 무게중심이라고 합니다.

 

중선

 

'세 중선이 한 점에서 만난다' 증명 2가지 방법

증명 1

이 증명은 교과서에 수록되어 있는 방법입니다. 증명의 전체적인 전개 방식은 중선 2개는 교점이 당연히 있으니, 꼭짓점 A, B의 중선의 교점을 G, 꼭짓점 A, C의 중선의 교점을 G'라 하면 G=G' 임을 보여서 세 중선이 한 점에서 만난다는 것을 증명하는 방법입니다.

 

같은 삼각형을 2개로 그려서 선분 AD와 선분 BE의 교점을 G, 선분 AD와 선분 CF의 교점을 G'라 하면

무게중심 증명

 

중점연결정리에 의해 선분 DE와 선분 AB는 평행하고, 선분 DE = 1/2 × 선분 AB 가 성립하고, 선분 DF와 선분 AC가 평행하고, 선분 FD = 1/2 × 선분 AC 가 성립합니다.

 

중점연결정리 적용

 

그러면 삼각형 ABG와 삼각형 DEG는 AA닮음, 삼각형 ACG'와 삼각형 DFG'는 AA 닮음이 성립합니다. 그리고 둘 다 닮음비는 1:2가 됩니다.

 

또한 빨간색 선분으로 표시한 AD는 왼쪽 그림, 오른쪽 그림에 공통으로 있는데, 왼쪽 그림에서 보면 G는 선분 AD를 2:1로 나누는 점이고, 오른쪽 그림에서 보면 G' 또한 선분 AD를 2:1로 나누는 점입니다.

 

한 선분을 2:1로 나누는 점이 다를 수 없기 때문에 G=G'가 성립하게 됩니다.

 

삼각형의 닮음 적용

 

따라서 삼각형 ABC의 세 중선은 한 점에서 만나고, 그 교점을 무게중심이라고 부릅니다.

무게중심은 세 중선을 모두 2:1로 나눈다는 성질을 가지고 있으며 중선이므로 각 변을 1:1로 나누게 됩니다.

 

무게중심

 

 

증명 2

다른 풀이 방법을 알아보겠습니다. 먼저 꼭짓점 B와 C에서 중선 2개를 긋고 그 교점을 G라고 합니다.

그 후 우리는 선분 AD가 중선임을 보여서 세 중선이 한 점에서 만난다는 것을 증명하는 방법입니다.

 

선분 AD가 중선이 되려면 선분 BD = 선분 CD를 보이면 됩니다.

증명과정

 

선분 AD가 중선이 되는 것을 보이기 위해 선분 AG = 선분 GE가 되도록 선분 AD의 연장선을 긋습니다.

그 후 오른쪽 그림에서 처럼 삼각형 ABE와 삼각형 ACE에서 각각 중점연결정리를 적용하면 선분 FG와 선분 BE는 평행하고, 선분 GH와 선분 EC는 평행합니다.

 

증명 과정

 

그러면 사각형 BECG가 평행사변형이 됩니다. 그러면 평행사변형의 성질을 적용할 수 있으므로 세 번째 성질인 '두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다'라는 성질을 적용해 보면 선분 BD = 선분 CD, 선분 ED = 선분 GD가 성립하게 됩니다.

 

따라서 선분 AD가 중선임이 성립하게 되고, 선분 AG = 선분 GE 이므로 선분 AG = 2 ×선분 GD가 성립하게 됩니다.

 

증명 과정

 

증명을 돌아보니 중점연결정리, 평행사변형의 성질을 활용하여 중선임을 설명하였습니다. 조금 생소할 수도 있지만 이러한 증명도 있다는 정도로 바라봐주시면 감사하겠습니다.

 

마무리

오늘은 무게중심의 개념과 성질에 대해서 알아보았고, 이를 증명하는 방법을 설명해 보았습니다. 무게중심에 대해서 이해하고 싶으신 분들에게 도움이 되었으면 좋겠습니다. 감사합니다.